シンク 関数。 シンクとソース ~電気知識~

シンク関数の数学的諸性質(その4)

🤔 あ,そうか,フーリエ級数展開に対応するのは,フーリエ変換じゃなくてフーリエ逆変換の方なんだお.なんか混乱しそうだお. やらない夫 そう,フーリエ変換は,フーリエ係数の計算の方に対応している.それぞれの周波数成分がどのくらい含まれているかを知るための計算になっているということだな. は一般に複素数になるから,振幅と位相を持っている.フーリエ係数 と同様に,周波数 の成分の振幅と初期位相を表しているわけだ. やる夫 フーリエ級数展開やフーリエ係数の計算を「変換」と呼んじゃダメなのかお? やらない夫 あそこで をくくり出さなかったどうなるか,計算してみればわかるんだが,フーリエ変換の式の方の先頭に がついて,逆変換の式の方には何もつかなくなるんだ.だから,「フーリエ変換」の式をきれいに見せたかったら今回みたいに でくくればいいし,「フーリエ逆変換」の式をきれいに見せたいならば,くくらずに導出したもので定義すればよかった.どっちにしろ,フーリエ変換して,またフーリエ逆変換すればちゃんと元に戻るからな.どっちでもよいんだけど,我々は前者を採用したってことだ.教科書によっては両方に をつけているのもあるしな. やる夫 どっちでもいいってのはあまり納得いかないお.定義が変わったら周波数成分の値が定数倍だけ変わってしまうお. やらない夫 変わってもいいんだよ.例えばもとの時間信号の振幅が,そうだな,電圧だったとしようか.じゃあそれをフーリエ変換したときの周波数成分の単位はどうなる? から,式 によって元の が復元できる.この計算をフーリエ逆変換と呼ぶ. あるいは「 は のフーリエ逆変換である」という言い方もする• 4 フーリエ級数とフーリエ変換の関係 やる夫 うーん やらない夫 どうした? やらない夫 そうだな.「重ね合わせ」という言葉であれば,総和の場合も積分の場合も,まあそんなに違和感無く表現できてる気がするが,どうだろう.まあ語感は人それぞれかも知れないけどな. ともかく,一般の時間信号は,あらゆる実数を周波数とする複素指数関数の重ね合わせで表すことができる,ということだ.これがフーリエ逆変換の意味だ. やる夫 逆? However, the explicit formula for the sinc function for the , , and other higher-dimensional lattices can be explicitly derived using the geometric properties of Brillouin zones and their connection to. やる夫 てことはどこかに大きなピークがあると,関係ないところまでちょっとずつ底上げされることになるお. やらない夫 その結果,スペクトルの小さなピークが,無関係な大きなピークからの影響に埋もれてしまったりする恐れがある.だからサイドローブはできるだけ低いことが望ましい. やる夫 結局,メインローブが限りなく細くて,サイドローブが限りなく存在しない,単位インパルスみたいな形状のものをたたみこむのが一番ってことだお? , , をそれぞれ, の振幅スペクトル,位相スペクトル,パワースペクトルと呼ぶ. やる夫 あれ? It is used in the concept of a continuous bandlimited signal from uniformly spaced of that signal. やらない夫 まず注意してほしいのは,この式では の全区間を積分しているが, が 0 でない値を持つのは を跨ぐ瞬間のみだということだ.だから, を含むような積分範囲を取れば,積分値は必ず 1 になる. それが何を意味するかというと,デルタ関数は,高さは無限大だけど面積は有限で 1 だということだ. やる夫 高さが無限大で,幅が0で,かけたら1になるような短冊だってことかお. やらない夫 そう考える手もあるかな.ともかく,単に「無限大です」ってんじゃなく,何らかの意味で「大きさを考えられる」という点が重要だ.単に無限大だと言われた場合は,その2倍とか3倍とかを考えることに意味がない.でもデルタ関数の場合は, とか とかがちゃんと意味を持っている. やる夫 高さはどれも無限大だけど,面積はそれぞれ 2 と 3 だってことかお. やらない夫 そういうことだ.この性質は,他の関数とデルタ関数をかけ合わせて積分するときに重要だ.有限の値を持つ関数 とかけ合わせて積分すると やる夫 のときの瞬時値が取り出されるわけだお. やらない夫 そう.どの場合も,積分範囲はインパルスの立っているところを含んでさえいれば OK だってことに注意しておこう. やる夫 しかし,奇妙な関数というか不思議な関数だお.こんなもの実在するのかお? やらない夫 数学的な厳密性に興味がない場合でも,例えば実際にコンピュータで計算しようと思ったら,無限大を扱うのは厄介だろ. やる夫 ああ,それはそうかも知れないお.紙の上に描くなら矢印にすればいいだけだけど,コンピュータではそうもいかないお. やらない夫 そういう面倒さを避けるために,1 周期だけ積分することにしたのがフーリエ係数だ,と考えてもいいかな.どうせ周期的な信号なんだから,1 周期分だけ考えれば各周波数成分がどういう「割合」で含まれているかを知るには十分だ. やる夫 結局,周期信号をフーリエ変換すると,フーリエ級数展開したときの に比例した高さのデルタ関数が並ぶことになるってことでいいのかお? The unnormalized sinc is the zeroth-order spherical of the first kind, j 0 x. やる夫 その区間が,全体のうちの1周期分になるような信号だってことだお.だから,その区間の信号をそのままコピペして繰り返した信号を解析しているってことになるお. やらない夫 その「コピペして繰り返す」ことを周期拡張するという.具体例を考えてみよう.極端に簡単な例として,単一周波数のサイン波を考える.本当は離散時間信号だが,面倒なので図は連続時間信号のようにかくことにしよう.まあ,サンプリング周期がが十分に短いと思ってくれ. これを,こういう区間で切り出してくれば,何の問題もないわけだ. やらない夫 そう,こんな風に,元の信号と切り出す区間の関係によっては,周期拡張したときにうまくつながらなくて,本来スペクトル解析したい信号とは別のものになってしまう. やる夫 そっか.切り出す区間の長さ は元の信号の周波数に合わせてうまく決めなくちゃならないんだお. やらない夫 おいおい,そういうことじゃないぞ. やる夫 えっ,違うのかお? やる夫 ええー,サンプリング周波数の半分の帯域までしか入力信号は持てないんだお.でも現実の音声信号とか電気信号とかがそうなっていることを保証するのは難しいと思うお. やらない夫 なので,普通はサンプリングの前に低域通過フィルタを入れてやる必要がある.ここでナイキスト周波数以上の成分を除去してしまうんだな. やる夫 んー,でもサンプリングする前にかけるフィルタってことは…ディジタル処理はできないんだお? Other properties of the two sinc functions include:• やる夫 なんか,ある一点でだけ無限大の値を持って,それ以外の点では 0 になるようなやつだったお.ピーンとインパルスが立ってる感じだお. やらない夫 ああ,イメージとしてはそれで OK だ.無理やり数式で書くとすると 3. やらない夫 いや,そりゃそうなんだが,周波数領域で単位インパルスになるってことは時間領域では定数 1 だからな.窓をかけることにならんだろ. やる夫 あ,そっか,ダメだお. やらない夫 一定の長さの窓関数として機能するものを考えている限り,すべての要件を同時に満たすのは不可能で,トレードオフの関係にある.だから,目的に応じて選択する必要があるわけだな. で,具体例としてさっきのハミング窓のスペクトルを見てみよう. やる夫 メインローブはむしろやや太くなってるお.でもサイドローブはかなり小さくなってるお. やらない夫 矩形窓は,実はメインローブの細さについてはかなりよい性能を持っている.ただしサイドローブが高すぎてまずいわけだ.時間領域との対応で考えると,矩形窓は周期拡張の境目で信号が不連続になるのが問題だった.不連続な関数を作るためには,無限に高い周波数成分まで重ね合わせてやらなくてはならない.低周波数のサイン波では滑らかな信号にしかならないからな.つまり広い周波数に渡って偽の成分が発生してしまうことになる.まさにサイドローブの効果なわけだ. やる夫 ハミング窓みたいに両端を絞ってやるとその効果は抑えられるけど,波形が歪んでスペクトルの形状が変わっちゃうわけだお.メインローブの太さとか,残ったサイドローブがその効果をもたらしていることになるお. やらない夫 他の代表的な窓関数としては,ハニング窓,ブラックマン窓などがある.興味があれば調べてみるといい. それから,ちょっと注意点だ.今回ハミング窓は周期 の cos と矩形関数を組み合わせたような関数で表した.教科書によっては代わりに周期 の cos を使っている場合もある. やる夫 んーと,それは別の窓関数にならないかお. やらない夫 もちろん厳密には別の関数だし,特性も全く同じじゃないが,まあ流儀の違い程度のものだと思ってもらうのがいいかな.いずれにせよ長さ の区間の両端を絞るという目的は同じだ.. やらない夫 そうそう,それを説明してなかった.これまではずっと連続時間信号について話をしてきたけど,次回から離散時間信号についての話に入るんだ.つまり,時間軸上で飛び飛びの時刻にしか値をもたないような信号だな.いよいよ「ディジタル」信号処理の世界に入っていくわけだ. 離散時間信号について考えるとき,いわゆる普通の角周波数とは別に「正規化角周波数」という概念が出てくる.小文字の はそっちの方で使おうと思うんだ.だからそれと区別するために,普通の角周波数は と書くことにする.ちょっと戸惑うかもしれないが,まあ我慢してくれ. やらない夫 互いにフーリエ変換と逆変換の関係になっているものを「フーリエ変換対」と呼ぶことがある.後々の説明で必要になるものをいくつか計算しておこうと思う. やる夫 あまり計算好きじゃないお. やらない夫 まあ数学の演習じゃないので,必要最低限に留めようと思う. そうそう,以下では が のフーリエ変換であることをこんな風に表すことにする.これらは割と標準的な記法だ. 3. , the brick wall defined in 2-D space. Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering.。 やらない夫 ああ,大問題だな. やる夫 あっさり認めたお. やらない夫 問題だが,矩形窓を使うよりはまだましということだな.もちろんハミング窓を使うのが常に最善というわけじゃなく,他にもいろんな窓関数が提案されている.結局どうやっても何らかの形で波形は歪んでしまって,元の信号のスペクトルとは大なり小なり異なる結果が得られてしまう.そのときどきの目的に応じて都合のよい窓関数を選ぶことが重要だ. やる夫 んー,一般論過ぎてピンと来ないお.具体的にはどうすればいいのかお. やらない夫 そうだな.元の信号のスペクトルが,窓関数をかけることでどんな風に変化するかを考えるといい. まず矩形窓から考えるか. の離散時間フーリエ変換 はどんな形になる? Summation [ ] All sums in this section refer to the unnormalized sinc function. 38 やる夫 積分したら 1 になるわけだお.これがどう重要なのかお? ああ,周期信号だから,1周期分のコピーが延々に続くわけだお.だから無限に足し合わせることになるんだお. やらない夫 そう,だから の整数倍のところでは,フーリエ変換の値は無限大に発散する.それが,周期関数のフーリエ変換がデルタ関数の並んだものになる理由だ.三角関数や複素指数関数をフーリエ変換したときにデルタ関数が出てくるのも,その特殊な場合になっているだけだな. やる夫 なるほど,辻褄は合ってるお. やらない夫 デルタ関数が「普通の意味での関数」ではなかったことを思い出してくれ.言い換えると,周期信号は,普通の意味ではフーリエ変換が存在しないってことだ.それでは不便なので,関数の意味を拡張して考えている.本来はもっと厳密な扱いが必要だ.もし避けることができるなら避けておきたい. やる夫 正直,どっちみち厳密性にはあまり興味ないから,今のままのゆるーい理解でいいなら,別に避けなくてもいいんじゃないかお? For a non-Cartesian lattice this function can not be obtained by a simple tensor product. やらない夫 うーん,実在という言葉の意味によるな.例えば音声信号とか電気信号として物理的に存在するかというと,振幅が無限大なんてのは無理だから,存在はしない.数学的にも,普通の「関数」としては存在しないと考えた方がいいだろうな.しかし,超関数という概念を導入することで,ちゃんと定義することができる.だから数学的にはちゃんと実在しているともいえる. やる夫 超関数って,その中二病っぽい響きの単語は何なんだお.そういう難しそうなのは勘弁してほしいお. やらない夫 まあそこに深入りする気はないので安心してくれ.とにかく信号処理を考える上ではものすごく重要な概念なので,やや天下りだが,こういうような性質をもった「関数っぽいもの」が存在すると考えればいい. やる夫 そうしますお. やらない夫 というわけで,デルタ関数をフーリエ変換するとどうなるか,というのがここからの主題だ.早速だが, をフーリエ変換してみたらどうなる? 積分っていっても飛び飛びにしか値がないんだお.こんなもの積分しても何も出てこないお. やらない夫 ああ.まず,高校で習ったような,等幅の短冊の面積の総和で近似して極限を取るような考え方では,こういう飛び飛びにしか値がないような関数の積分は定義できない.だからもう少しうまく定義された積分を導入する必要があるんだが,いずれにせよ,こういう「面積のない」関数の積分は 0 になる. やる夫 なんかよくわからないけど,面積がないから積分が 0 って話は抵抗なく受け入れられるお. やらない夫 フーリエ逆変換したら全部 0 になっちゃうようではお話にならないわけだ.だから,各 に比例したデルタ関数を考えてやることにして「面積を持つ」ようにしてやるわけだ.そうすればフーリエ逆変換の公式で,うまく時間信号に戻るようになる. やる夫 うーん,雰囲気はわからないでもないけど,いまいち理解しにくいお. やらない夫 雰囲気だけでもつかんでおくといい.というのは,この考え方は後々いろんなところで出てくるんだ. 座標軸上の飛び飛びの点でしか値をもたないような,つまり離散的な信号に対して,連続信号用の処理を適用したいときに,デルタ関数をかけておくことで各点の値に「面積」を持たせるという考え方だ.離散信号と連続信号が同じ密度を持つようにするためのトリックだと思ってもいい. やる夫 ピンと来ないお. やらない夫 実は同じような考え方は今回の最初の方で既に使っているんだ.フーリエ級数からフーリエ変換に移行するときに,だろ.短冊の面積に置き換える代わりに,「デルタ関数の面積」に置き換えているのが今の話だ. やる夫 うーん,わかったような,わからないような感じだお. やらない夫 まあ,またすぐに別の具体例が出てくるので,そのとき話そう.. "Surprising Sinc Sums and Integrals". , is a function whose is the of the of that lattice. は角周波数を表す連続変数である. は に含まれる角周波数 の振動成分の量 振幅・位相 を表す.• IEEE Transactions on Image Processing. やらない夫 ほら,フーリエ変換の公式を導くときにだろう.その分の辻褄を合わせるために出てきたものだ. やる夫 あー,そういえばそうだったお. やらない夫 今まで見てきたような話を,フーリエ逆変換の視点から見ておくことも重要だ.各周波数成分が有限値 で,それ以外が 0 になっているようなスペクトル が与えられたとしよう.そのままフーリエ逆変換の公式に入れるとどうなる? やらない夫 いい質問だな.じゃあ,三角関数や複素指数関数に限らず一般論として,周期 で周期的な信号 をフーリエ変換したときにどうなるかを考えてみようか. 3. The local maxima and minima of the unnormalized sinc correspond to its intersections with the function. A similar situation is found in the. から,式 によって元の が復元できる.この計算をフーリエ逆変換と呼ぶ. あるいは「 は のフーリエ逆変換である」という言い方もする• Robert Baillie; ; December 2008. 61 やる夫 ほとんど同じだお.フーリエ係数を計算するときの 倍をやめて,積分範囲が 1 周期分だったのを から までに変えたのがフーリエ変換になるお. やらない夫 そうだな.フーリエ係数を計算するときは,周期関数の 1 周期分だけを積分することで有限の値 を得ていたわけだ.フーリエ変換するときは,まず 倍が必要だがそれはさておいても,この 1 周期分の積分を無限個足し合わせなきゃならない. やる夫 んー,無限…? やる夫 そりゃ,やっぱり時刻 ずつシフトしてやればいいはずだお.周波数 のサイン波は 1 周期が だから,位相で考えると,比例計算で 3. The term sinc was introduced by in his 1952 article "Information theory and inverse probability in telecommunication", in which he said that the function "occurs so often in Fourier analysis and its applications that it does seem to merit some notation of its own", and his 1953 book Probability and Information Theory, with Applications to Radar. "On the sums of series of reciprocals". The function itself was first mathematically derived in this form by in his expression for the zeroth-order spherical of the first kind. The normalized sinc function is the of the with no scaling. やらない夫 うーん,実はそこはいろいろと厄介な問題をはらんでいる.どんな問題かを話す前に,典型的なスペクトル解析の流れを説明しておこうと思う. まず,解析対象の信号が連続時間信号だった場合は,サンプリングして離散時間信号に変換する必要がある.もちろん最初から離散時間信号を扱う場合もあるだろうからそういうときはそのままでいいんだが,物理的な信号の多くは,例えば音声信号にしろ電気信号にしろ連続時間信号だからな.離散化が必要だ. やる夫 まあそりゃそうだお. やらない夫 次に,その離散時間信号を離散フーリエ変換にかけるわけだが,このとき信号の一部の区間を切り出して処理する. 点離散フーリエ変換をする場合は, 時刻分の信号を切り出すわけだ. やる夫 なるほど,そうすれば,極端な話 1 時刻ごとにスペクトルを計算することもできるわけだお. やらない夫 まあ実際にどうするかは,そんなに細かい時間間隔でスペクトルを計算する必要があるかとか,計算が間に合うかとか,そういう辺りを考慮して決めるわけだな. やる夫 で,問題をはらんでるってのはどういうことだお? This corresponds to the fact that the is the ideal , meaning rectangular frequency response. As a further useful property, the zeros of the normalized sinc function are the nonzero integer values of x. The sinc function for a non-Cartesian e. やる夫 えっと,基本角周波数が で,その整数倍の周波数成分だけがでてくるんだったお. やらない夫 そうだな.だからスペクトルは飛び飛びに値を持つことになる.図でかくとこんな感じだったな. やる夫 なんか強引な気がするお.そんなんでいいんかお. やらない夫 やや乱暴かな.まあ気にするな.ともかく,周期を長くしていったときに,周波数領域がどういう風に変化していくかを考えていこう.で,出発地点に戻ると,周期 のときは,周波数領域では おきに飛び飛びに値を持つんだったわけだろ. やる夫 そうだお.さっきのグラフの通りだお. やらない夫 周期が になったらどうなる? やる夫 えーと, sinc 関数は sin の振幅が原点から離れるに従って反比例で減っていくんだったが,これは で減っていくんだな.しかもちゃんと周期 で周期的になっているのに注意しよう. やる夫 あ,そうか,離散時間フーリエ変換だから,スペクトルは周期 のはずなんだったお.辻褄が合ってるお. やらない夫 時間領域で をかけるということは,周波数領域では元のスペクトルに今の形の関数 をたたみこむことになるわけだ.イメージできるか? やらない夫 ああ,まず一点目は最初のサンプリングのところだ.前回学んだ通り, を満たさないとまずいことになる. やる夫 えーと,エイリアシングが起きて偽の周波数成分が出てきてしまうんだお.それを防ぐには,信号の帯域の2倍以上の周波数でサンプリングしなきゃならないお. やらない夫 そうだったな.じゃあ,もしサンプリング周波数が固定されてしまっている場合はどうする? ダメだお. で にしたときの値が定まらないお. やらない夫 ああ,それがさっき言った根本的な問題だ.よくよく考えてみると,デルタ関数なんて普通の「関数」ではなかったわけだろ.普通の意味の積分の結果としてさくっと出てくるようなものではないんだ.特殊な取扱いが必要になる. sinc 関数をフーリエ逆変換するときのように「計算が難しい」のとはちょっと話が一味違う. やる夫 じゃあどうすればいいのかお? 連続時間 で定義された関数 のうち実用上重要なものの多く に対して,式 で計算される を のフーリエ変換と呼ぶ. あるいはこの計算をすること自体をフーリエ変換と呼ぶ• 2010 , , , Cambridge University Press, ,. やる夫 は に関わらず 1 だお.あ,そうか,だからあらゆる周波数が等しい振幅で含まれているっていう点では と同じなんだお.問題は位相だお. だから,周波数 の成分は, だけ位相が遅れていることになるお.これってどういうことだお…. やらない夫 もう一度時間領域に戻って考えてみるといいぞ. ってのは, から時刻 だけシフトしているわけだろ.そういう関数を合成するには,各周波数のサイン波をどうすればいいと思う? In both cases, the value of the function at the at zero is understood to be the limit value 1. ・センサ (何らかの信号を検知して、値を制御機器に返します) ・アクチュエータ (制御機器からの信号を検知して、何らかの動作をします) 制御出力機器というのは、 PCやPLCといったものです。

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やる夫 うーん,スペクトルの線の間隔がどんどん狭くなっていくお.だから,飛び飛びじゃないスペクトルになるのかお. やらない夫 そういうことだ. から の連続時間上で定義された時間関数は,周波数領域で見ると, から の連続周波数上で定義されたスペクトルになる.ちょっと議論は乱暴だったけど,ああ何かそうなりそうだな,と納得してもらえればとりあえず OK としよう. やる夫 ふーん,まあ言ってることの雰囲気はわかるお. やらない夫 さて,実際にそういう極限を考えたときに,数式としてはどんな形になるのかっていうのが次の話だ.ところがちょっと問題があって,今の話の流れで考えていても,実は答えにはたどり着けないんだ. やる夫 ちゃぶ台返しかお.じゃあ今までの話はなんだったんだお. やらない夫 まあそう言うな.飛び飛びの離散周波数から連続周波数になっていくイメージを持ってもらいたかっただけだ.でも,どんなに間隔が細かくなっても線は線のままだからな.そのままじゃ連続にはならない.なのでそこはちょっと連続化のための手続きを踏んでやる必要がある. やる夫 どういうことかお. やらない夫 フーリエ級数展開の式から出発しよう.前回の式 ,つまりこれだ. やらない夫 そういうことだ.これで,この短冊の面積をすべて足し合わせると になるようにできたわけだ.こうやって「総和を計算する問題」を「面積を計算する問題」に書き換えておいてから,分割をどんどん細かくしていけば,「面積を積分で求める問題」に持って行くことができる. やる夫 うーん,なんか微妙にしっくり来ないけど,そんなもんなのかお. やらない夫 同じ無限でも,「整数が無限にある」というときの無限と「実数が無限にある」というときの無限との間には大きなギャップがあるんだ.だから「線」のまま間隔を狭くしていっても連続にはならない.そのギャップを,面積を持つ短冊を考えることで埋めていると思ってくれ. 今の話を数式で書くとこうなる.まずフーリエ級数の式を,面積の総和だと思って書き換える. そしてさっきの式 の方をフーリエ逆変換と呼ぶ. やる夫 いつの間にか「級数展開」が「変換」になったお. やらない夫 いつの間にかというか,いつ「変換」になったかと敢えて答えるなら,無限に飛ばして連続化したときだな.その時点で「連続時間上の関数」と「連続周波数上の関数」の相互間の「変換」になったと考えている. フーリエ変換の計算式の右辺には時間変数 と周波数変数 が含まれているが, で積分するから, だけが残る.連続時間上の関数から連続周波数上の関数への変換になるわけだ.フーリエ逆変換の方は,右辺を で積分しているから, だけが残るんだな.時間関数への変換になる. やる夫 結局,周波数が連続になっただけで,フーリエ級数と同じようなものだと思っていいのかお? ってのが今回の話になる.結論からいうと,それがフーリエ変換だ. やる夫 「級数」が「変換」に変わるんかお.なんか「周期的」かどうかとは全く異質な話に聞こえるお. やらない夫 そうかもな.まあその辺は追々理解してもらえばいい.ともかく出発地点はフーリエ級数だ.周期 の時間信号を周波数成分に分解するんだった.どんな周波数成分が出てくる? The sinc function is then everywhere and hence an. はじめに 全記事をまとめてあります. ぜひ下のリンクから確認してください. 問題 を求めよ. (備考) はsinc シンク 関数と呼ばれているらしい. 解法の手順 解法手順を以下にざっとまとめておく. 読み進める途中にわからなくなったら確認してほしい. 解法 の基本定理 の原始関数を とすると,定は以下のように表記できる. 今回は上式を少し変形した式を使う. … 1 の設定 を考える.… 2 注意: なので、 を変数とする関数である. を考える 両辺を でする. 左辺のが計算できそうなのでしておく. (の形になっていますが,あえて計算してみましょう) 部分より, … 3 を求める … 4 の基本定理に代入する 1 式より, 以上の計算から次式が得られた. 2 3 4 1 式に代入すると, 右辺が計算できそうなので計算しておく. よって, 両辺 を考えると, 最後に 全記事をまとめてあります. ぜひ下のリンクから確認してください.. やらない夫 そうだな.「重ね合わせ」という言葉であれば,総和の場合も積分の場合も,まあそんなに違和感無く表現できてる気がするが,どうだろう.まあ語感は人それぞれかも知れないけどな. ともかく,一般の時間信号は,あらゆる実数を周波数とする複素指数関数の重ね合わせで表すことができる,ということだ.これがフーリエ逆変換の意味だ. やる夫 逆? やる夫 うーん, は反比例のグラフだお.反比例と sin をかけたグラフだから, が正のときは,sin なんだけど振幅が に反比例して減っていくようなグラフになるお. が負のときは…反比例の部分が負だから,sin 関数の正負がひっくり返ったものになって,その振幅はやっぱり の絶対値に反比例して減っていくわけだお.だから左右対称なグラフになりそうだお.よくわからないのは の近辺だお.反比例は無限大に,sin はゼロに近づいていくから,かけ合わせた結果どうなるのか,すぐにはわからんお. やらない夫 のときの値が なのは計算の結果わかっていただろう.で,実はちゃんと連続につながったグラフになるんだ. の場合をプロットしてみるとこうなる. なので,単に sinc 関数と言われた場合は,実際にはどっちを指しているかちょっと注意が必要だ. やる夫 面倒くさいお. やらない夫 まあとにかく,定数倍はさておくとして,矩形関数と sinc 関数がフーリエ変換対の関係になっていることを,しっかり把握しておいてくれ. やる夫 ということは,sinc 関数に対してフーリエ変換の計算をすれば矩形関数が出てくるのかお? やらない夫 そういうことになるな. やる夫 どうして式 は, じゃなくて が並んだものになるのかお? 2 デルタ関数と複素指数関数 やる夫 デルタ関数…数学の授業で習った気はするお. やらない夫 正確にはディラックのデルタ関数とか,あるいは単位インパルス関数と呼ばれることもあるが,どんなものだったか覚えているか? やらない夫 よく考えてみろ.スペクトル解析をしたいときってのは,元の信号がどんな周波数かわからないから解析したいんだ.わからないのにうまく合わせようがないだろう. やる夫 あ…そうか,その通りだお.ていうか,そもそも複数の周波数成分が含まれていたら,すべての周波数にうまく合わせるなんてこと自体が無理だお. やらない夫 というわけで,こういう問題が起きないようなうまい を選ぶなんてことは不可能だ.そのことは認めたうえで,周期拡張するときにつなぎ目がおかしくなるのを回避するための手段が必要になる. やる夫 そんなことできるのかお. やらない夫 完璧な方法とは言えないが,広く用いられているのが,窓関数を使って切り出しを行い,それから離散フーリエ変換につっこむという方法だ. やる夫 両端がなめらかに小さくなっているお. やらない夫 こうやって信号の一部を切り出すためにかける関数のことを,一般に窓関数と呼ぶ.最初の は矩形窓とか方形窓とか呼ばれる.対して の方はハミング窓と呼ばれるものだ.スペクトル解析をするときは,こんな風に両端がなめらかに絞られた窓関数を使って切り出すことで,周期拡張の際につながりがおかしくなることを避けるのが重要だ. やる夫 うーん,でも,こんなのかけたら波形の形状が変わってしまうお.それは問題にならないのかお? やらない夫 そうだな.ここはアナログのシステムで処理してやる必要がある.この役割のフィルタのことを,アンチエイリアスフィルタと呼ぶ.エイリアシングに抗するフィルタってことだな.元の信号がナイキスト周波数以下に収まっていると確信できる場合以外は,サンプリングの前にこれを置いてやらなくてはならない. やる夫 でも,まあ,要はローパスフィルタを置けばいいんだお.そんなに問題とも思わないお. やらない夫 ああ,本当に厄介なのはサンプリング後の話だ. やる夫 まだあるんかお. やらない夫 離散時間信号から 時刻分を切り出してきて離散フーリエ変換にかけるわけだが,この切り出し方が問題だ. まず復習だが,離散フーリエ変換ってのはどういう信号に適用できるんだった? やる夫 どうなるって言われても,まあ公式につっこんでみるお. やらない夫 の解釈としてはその通りだな.時間領域で見てきた複素指数関数を,時間と周波数を入れ替えて考えればいい.さて, のスペクトルがこういう螺旋になるというのは,どう捉えればいいだろう? 何か納得行かない顔をしてるな. やる夫 今日の話って元々,周期信号しか扱えなかったフーリエ級数展開を,周期的じゃない信号に適用できるようにするって流れだったお.それで出てきたのがフーリエ変換なわけだお. やらない夫 そうだったな. やる夫 でも,さっき計算した とか とかも周期的な信号なんだお.周期的な信号もフーリエ変換できるなら,フーリエ級数はもう要らないのかお? やらない夫 そうだな,基本的な考え方は同じだ.フーリエ級数は,周期的な時間信号を無限個の複素指数関数の足し合わせで表現したわけだ.ただし無限といっても高々「整数の個数」の無限だ.周波数成分は飛び飛びにしか存在しないが,それで元の時間関数が十分に再現できた. これに対して,周期的とは限らない一般の時間信号を表現しようと思うと.周波数としてはあらゆる実数を考えなくてはならなくなる.数式で表現すると複素指数関数の「総和」ではなくて「積分」で表現しなくてはならないわけだ. やる夫 フーリエ級数の「複素指数関数の足し合わせで表す」っていう考え方は直観的にわかりやすかったお.でも総和じゃなくて積分になるとどうもピンと来ないお. やらない夫 そうかもしれないが,本質的には全く同じことなんだ.同じイメージを持っていて構わない.ただし「足し合わせ」という言葉を使うのはさすがに違和感があるので,「重ね合わせ」という言葉を使うことが多い. やる夫 「重ね合わせの原理」とかいう場合の重ね合わせと同じかお? For example, the sinc function for the hexagonal lattice is a function whose is the of the unit hexagon in the frequency space. It is an interpolating function, i. スペクトル解析と窓関数 やる夫 離散フーリエ変換のおかげで,時間領域から周波数領域への変換が有限の数列から有限の数列への変換として扱えるようになったわけだお.連続とか無限とかを扱わなくて済むので,実際の信号をコンピュータで解析できるわけだお. やらない夫 そうだな.まあ解析といってもいろいろあるが,信号がどんな周波数成分を持っているか,同じことだが別の言い方をすると,どのようなスペクトルで構成されているかを調べることができるようになるわけだ.スペクトル解析とか,周波数解析とか呼ぶ.解析の代わりに分析でもいいが,まあどれも同じようなことを指している. やる夫 実際に計算するには高速フーリエ変換のアルゴリズムを使うのがいいんだお.単純に入力信号を高速フーリエ変換の処理にぶち込めばいいのかお? やる夫 えっと,まず当然離散時間信号だお.それから…,あ,そうか,周期的であることも前提だお.時間領域で離散的で周期的だから,周波数領域も離散的で周期的になるんだったお. やらない夫 そうだな.さて今何らかの入力信号から 時刻分の区間を切り出してきた.これを離散フーリエ変換にかけるということは,どういう信号を扱っていることになる? やらない夫 あきらめないためには超関数論にまともに踏み込まないといけないからな.そこで「フーリエ変換対をセットにする」考え方の出番だ. をフーリエ変換したら になると知っているんだから, のフーリエ逆変換が になることもわかっていると考えてしまう. やる夫 さっきも言ったけど,ずるいお. やらない夫 さっきも言ったが,ずるくて構わない.ともかく,複素指数関数をフーリエ変換しなくちゃならない状況になったときに,あー,これはデルタ関数になるなと思い出して,逆から計算できるようになれれば勝ちだ.差し詰め,試合に負けて勝負に勝つといったところか. やる夫 あ,やっぱり試合は終了なのかお. やらない夫 同様に,周波数領域のデルタ関数 とか,それを定数 だけシフトした とかのフーリエ逆変換も計算しておこうか.やり方はほとんど同じだ. やる夫 同じように計算すると 3. The causes the of the function over the real numbers to equal 1 whereas the same integral of the unnormalized sinc function has a value of. やる夫 そろそろ慣れてきたお.元のスペクトルの各点から,その点の高さに合わせた をぶら下げて,全部重ね合わせるんだお. やらない夫 その結果どうなるかは, の形状の各部ごとに考えることができる.まず真ん中の大きな山の部分だな.この部分をよくメインローブと呼ぶ.たたみこまれたときに,メインローブは近傍の値同士を互いと平均化する効果を持つのがイメージできるか? やらない夫 出てくる.出てくるんだが,その計算は割とややこしい.何しろ sinc 関数は不定積分が初等関数の組み合わせで書けないんだ.なので積分の計算にいろいろと技巧が必要だ.というわけで「sinc と矩形はフーリエ変換対」と覚えておいて,例えば時間領域の sinc 関数のフーリエ変換が必要になったときには,周波数領域の矩形関数から考えて逆算するようにする方が楽ちんだ. やる夫 ふーん,なんだかずるいお. やらない夫 いいんだよ,ずるくても.この「フーリエ変換対をセットにして考える」という戦略はとても重要だ.sinc 関数の場合は単に計算が面倒なのを回避するだけだが,もっと根本的な問題を回避する場合にも有用なんだ. やる夫 もっと根本的って,どんな場合だお? "A Geometric Construction of Multivariate Sinc Functions". シンク と ソース の比較まとめです NPNトランジスタ出力 PNPトランジスタ出力 用途 PLCやカウンタ等へ信号入力 主に国内で使用。 。

シンク関数の数学的諸性質(その4)

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Sinc function

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シンクとソース ~電気知識~

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3. フーリエ変換 (やる夫で学ぶディジタル信号処理)

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シンク 関数

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Sinc function

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3. フーリエ変換 (やる夫で学ぶディジタル信号処理)

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シンクとソース ~電気知識~

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シンクとソース ~電気知識~

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3. フーリエ変換 (やる夫で学ぶディジタル信号処理)

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